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2020版高考数学大一轮复习第三章函数的概念与基本初等函数Ⅰ练习(9套浙江专用)

(作者 : 日期:2019-05-13)
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变量分离技巧的应用
知 识 拓 展
分离变量法:是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端,使两端各含同一个变量,这是分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.解决有关不等式恒成立、不等式存在(有)解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量,其中一个范围已知,另一范围未知.
结论1 不等式f(x)≥g(a)恒成立?[f(x)]min≥g(a)(求解f(x)的最小值);
不等式f(x)≤g(a)恒成立?[f(x)]max≤g(a)(求解f(x)的最大值).
结论2 不等式f(x)≥g(a)存在解?[f(x)]max≥g(a)(求解f(x)的最大值);
不等式f(x)≤g(a)存在解?[f(x)]min≤g(a)(求解f(x)的最小值).
结论3 方程f(x)=g(a)有解?g(a)的范围与f(x)的值域有交集(求解f(x)的值域).
解决问题时需要注意:(1)确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一类;
(2)确定是求最大值、最小值,还是值域.
题 型 突 破
题型一 不等式恒成立求参数
【例1】 已知函数f(x)=ax-ln(x+1)+a-1(x>-1,a∈R).
若函数f(x)在x=0处取到极值,且对任意x∈(-1,+∞),f(x)≥mx+m-2恒成立,求实数m的取值范围.
解 f′(x)=a-1x+1,f′(0)=a-1=0,
∴a=1,f(x)=x-ln(x+1),
∴f(x)=x-ln(x+1)≥m(x+1)-2,
∴m≤x+2-ln(x+1)x+1(x>-1).
令x+1=n,n>0,
∴m≤n-ln n+1n=1-ln nn+1n,
设g(n)=1-ln nn+1n,n>0,则g′(n)=ln n-2n2;
当n∈(0,e2)时,g′(n)<0,g(n)单调递减,
当n∈(e2,+∞)时,g′(n)>0,g(n)单调递增,
则g(n)min=g(e2)=1-1e2,
∴m的取值范围为-∞,1-1e2.
【训练1】 已知函数f(x)=x2+ax+1,x∈(0,1],且|f(x)|≤3恒成立,求a的取值范围.
解 由题意|x2+ax+1|≤3,
即-3≤x2+ax+1≤3,
所以-4-x2≤ax≤2-x2,
又x∈(0,1],
即-4x-x≤a≤2x-x,
得-4x-xmax≤a≤2x-xmin,
g(x)=-4x-x在(0,1]上单调递增,
所以g(x)max=g(1)=-5.
h(x)=2x-x在(0,1]上单调递减,
所以h(x)min=h(1)=1.
所以-5≤a≤1,即a的取值范围是[-5,1].
题型二 不等式有解求参数
【例2】 已知函数f(x)=13x3-a2x2+2x+1在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数a的取值范围.
解 f′(x)=x2-ax+2,依题意,存在x∈(-2,-1),
使不等式f′(x)=x2-ax+2<0成立,
即x∈(-2,-1)时,a<x+2xmax=-22,
当且仅当x=2x即x=-2时等号成立.
所以满足要求的实数a的取值范围是(-∞,-22).
【训练2】 已知函数f(x)=ln x-12ax2-2x存在单调递减区间,求实数a的取值范围.
解 f(x)=ln x-12ax2-2x,x∈(0,+∞),
所以f′(x)=1x-ax-2,由f(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,所以当x∈(0,
+∞)时,1x-ax-2<0有解,
即a>1x2-2x有解.
设h(x)=1x2-2x,所以只要a>h(x)min即可.
而h(x)=1x-12-1,所以h(x)min=-1.
所以a>-1,即实数a的取值范围为(-1,+∞).
题型三 含参数的方程有解问题
【例3】 已知函数f(x)=x(ln x-ax)有极值点,求实数a的最大值.
解 由题意f′(x)=ln x-2ax+1=0在(0,+∞)上有解,
∴a=ln x+12x,x∈(0,+∞),
令g(x)=ln x+12x,x∈(0,+∞),
g′(x)=-2ln x4x2,
当x∈(0,1)时,g′(x)>0,g(x)单调递增;
当x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;
∴g(x)最大=g(x)极大=g(1)=12,
故实数a的最大值为12.
【训练3】 已知f(x)=x3+(k-1)x2+(k+5)x-1在区间(0,3)上不单调,求k的取值范围.
解 f′(x)=3x2+2(k-1)x+(k+5),
因为f(x)在区间(0,3)上不单调,
所以f(x)在(0,3)上有极值点,
由f′(x)=0得k(2x+1)=-(3x2-2x+5),
所以k=-3x2-2x+52x+1=-34(2x+1)+92x+1-103,
令t=2x+1,有t∈(1,7),记h(t)=t+9t,
则h(t)在(1,3]上单调递减,在[3,7)上单调递增,
所以有h(t)∈[6,10),
得k∈(-5,-2],而当k=-2时有f′(x)=0在(0,3)上有两个相等的实根x=1,故舍去,
所以k∈(-5,-2).
补 偿 训 练
一、
1.若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是(  )
A.(-∞,-2)     B.(-2,+∞)
C.(-6,+∞)     D.(-∞,-6)
解析 不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x-2)max,x∈(1,4).
令f(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),
所以f(x)<f(4)=-2,所以a<-2.
答案 A
2.对任意实数x,若不等式4x-m?2x+1>0恒成立,则实数m的取值范围是(  )
A.(-∞,2)     B.(-2,2)
C.(-∞,2]     D.[-2,2]
解析 由4x-m?2x+1>0知m<4x+12x=2x+12x.
对任意实数x,原不等式4x-m?2x+1>0恒成立.
所以实数m小于2x+12x的最小值,
又2x>0,所以2x+12x≥22x?12x=2,
当且仅当2x=12x,即x=0时等号成立,
故2x+12x的最小值为2.
即m<2,故选A.
答案 A
3.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是(  )
A.(-∞,+∞)     B.(-2,+∞)
C.(0,+∞)     D.(-1,+∞)
解析 因为2x>0,所以由2x(x-a)<1得a>x-12x,
令f(x)=x-12x,
则函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,
所以f(x)>f(0)=0-120=-1,所以a>-1.
答案 D
4.已知函数f(x)=m?9x-3x,若存在非零实数x0,使得f(-x0)=f(x0)成立,则实数m的取值范围是(  )
A.m≥12     B.0<m<12
C.0<m<2     D.m≥2
解析 由题意得关于x的方程m?9-x-3-x=m?9x-3x有非零实数解,整理得到:m=3x(3x)2+1=13x+13x<12,又m>0,所以实数m的取值范围是0<m<12.
答案 B
二、
5.(2019?上海徐汇区一模)若不等式(-1)n?a<3+(-1)n+1n+1对任意的正整数n恒成立,则实数a的取值范围是________.
解析 n为偶数时,a<3-1n+1min,即a<3-13=83;
n为奇数时,-a<3+1n+1min即-a≤3,
∴a≥-3,
综上实数a的取值范围是-3,83.
答案 -3,83
6.(2018?天津卷)已知a∈R,函数f(x)=x2+2x+a-2,x≤0,-x2+2x-2a,x>0.若对任意x∈[-3,+∞),f(x)≤|x|恒成立,则a的取值范围是________.
解析 当-3≤x≤0时,f(x)≤|x|恒成立等价转化为x2+2x+a-2≤-x恒成立,即a≤-x2-3x+2恒成立,所以a≤(-x2-3x+2)min=2;当x>0时,f(x)≤|x|恒成立等价转化为-x2+2x-2a≤x恒成立,即a≥-x2+x2恒成立,
所以a≥-x2+x2max=18.综上,a的取值范围是18,2.
答案 18,2
7.设函数f(x)=lg 1x+2x+3x+…+9x+10xa10,其中a为实数,如果当x∈(-∞,1]时f(x)有意义,则a的取值范围是________.
解析 由函数f(x)=lg 1x+2x+3x+…+9x+10xa10在x∈(-∞,1]上有意义得1x+2x+3x+…+9x+10xa>0在x∈(-∞,1]上恒成立,即a>-110x-210x-310x-…-910x在x∈(-∞,1]上恒成立,设g(x)=-110x-210x-310x-…-910x,则易得g(x)在x∈(-∞,1]上单调递增,所以g(x)max=g(1)=-92,所以a>-92.
答案 -92,+∞
8.(2019?上海嘉定区调研)若不等式x2-2y2≤cx(y-x)对满足x>y>0的任意实数x,y恒成立,则实数c的最大值为________.
解析 ∵不等式x2-2y2≤cx(y-x)对任意满足x>y>0的实数x,y恒成立,
∴c≤x2-2y2xy-x2=xy2-2xy-xy2,令xy=t>1,
∴c≤t2-2t-t2=f(t),f′(t)=t2-4t+2(t-t2)2=(t-2-2)(t-2+2)(t-t2)2,
当t>2+2时,f′(t)>0,函数f(t)单调递增;
当1<t<2+2时,f′(t)<0,函数f(t)单调递减.
∴当t=2+2时,f(t)取得最小值,f(2+2)=22-4.
∴实数c的最大值为22-4.
答案 22-4
三、解答题
9.已知a和b是任意非零实数.
(1)求|2a+b|+|2a-b||a|的最小值;
(2)若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立,求实数x的取值范围.
解 (1)∵|2a+b|+|2a-b||a|≥|2a+b+2a-b||a|=|4a||a|=4,
∴|2a+b|+|2a-b||a|的最小值为4.
(2)若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立,
即|2+x|+|2-x|≤|2a+b|+|2a-b||a|恒成立,
故|2+x|+|2-x|≤|2a+b|+|2a-b||a|min.
由(1)可知,|2a+b|+|2a-b||a|的最小值为4.
∴x的取值范围即为不等式|2+x|+|2-x|≤4的解集.
解不等式得-2≤x≤2.故实数x的取值范围为[-2,2].
10.已知函数f(x)=|x|+mx-3,m∈R,x≠0.
(1)判断函数y=f(x)的奇偶性,并说明理由.
(2)讨论函数y=f(x)的零点个数.
解 (1)当m=0时,f(x)=|x|-3,
此时f(-x)=f(x),又x∈(-∞,0)∪(0,+∞),
所以f(x)为偶函数.
当m≠0时,∵f(1)=m-2,
f(-1)=-m-2,∴f(-1)≠f(1),f(-1)≠-f(1),
∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)由f(x)=0,可得x|x|-3x+m=0(x≠0),
变为m=-x|x|+3x(x≠0),
令g(x)=3x-x|x|=-x2+3x,x>0,x2+3x,x<0
=-x-322+94,x>0,x+322-94,x<0,
作y=g(x)的图象及直线y=m,由图象可得:
当m>94或m<-94时,y=f(x)有1个零点;
当m=94或m=0或m=-94时,y=f(x)有2个零点;
当0<m<94或-94<m<0时,y=f(x)有3个零点.
11.(2019?宁波模拟)已知函数f(x)=aln x+x-1x,其中a为常数且a∈R.
(1)若x=12是f(x)的极大值点,求f(x)的极小值;
(2)若不等式aln x-1x≤b-x对任意-52≤a≤0,12≤x≤2恒成立,求实数b的最小值.
解 (1)f′(x)=x2+ax+1x2,因为x>0,
由f′12=0,得122+12a+1=0,
所以a=-52,
此时f(x)=-52ln x+x-1x,
则f′(x)=x2-52x+1x2=(x-2)x-12x2.
所以f(x)在12,2上为减函数,在[2,+∞)上为增函数,
所以x=2为极小值点,则极小值为f(2)=32-5ln 22.
(2)不等式aln x-1x≤b-x即为f(x)≤b,
所以b≥f(x)max.
若1≤x≤2,则ln x≥0,
f(x)=aln x+x-1x≤x-1x≤2-12=32.
当a=0,x=2时取等号;
若12≤x<1,则ln x<0,
f(x)=aln x+x-1x≤-52ln x+x-1x.
由(1)可知g(x)=-52ln x+x-1x在12,1上为减函数.
所以当12≤x<1时,g(x)≤g12=52ln 2-32.
因为52ln 2-32<52-32=1<32,所以f(x)max=32,
于是bmin=32.
12.(2019?杭州调研)已知函数f(x)=2x+2-x.
(1)求证:函数f(x)是偶函数;
(2)设a∈R,求关于x的函数y=22x+2-2x-2af(x)在x∈[0,+∞)时的值域g(a)的表达式;
(3)若关于x的不等式mf(x)≤2-x+m-1在x∈(0,+∞)时恒成立,求实数m的取值范围.
(1)证明 函数f(x)的定义域为R,对任意x∈R,f(-x)=2-x+2x=f(x),
所以,函数f(x)是偶函数.
(2)解 y=22x+2-2x-2a(2x+2-x)=(2x+2-x)2-2a(2x+2-x)-2,
令2x+2-x=t,因为x≥0,所以2x≥1,故t≥2,
原函数可化为y=t2-2at-2,t∈[2,+∞),
y=t2-2at-2=(t-a)2-a2-2图象的对称轴为直线t=a,
当a≤2时,函数y=t2-2at-2在t∈[2,+∞)时是增函数,值域为[2-4a,+∞);
当a>2时,函数y=t2-2at-2在t∈[2,a]时是减函数,在t∈[a,+∞)时是增函数,值域为[-a2-2,+∞).
综上,g(a)=[2-4a,+∞),a≤2,[-a2-2,+∞),a>2.
(3)解 由mf(x)≤2-x+m-1,得m[f(x)-1]≤2-x-1,
当x>0时,2x>1,所以f(x)=2x+2-x>2,所以f(x)-1>1>0,
所以,m≤2-x-1f(x)-1=2-x-12x+2-x-1=1-2x22x+1-2x恒成立.
令t=1-2x,则t<0,1-2x22x+1-2x=t(1-t)2+t=tt2-t+1=1t+1t-1,
由t<0,得t+1t≤-2,所以t+1t-1≤-3,-13≤1t+1t-1<0.
所以,m≤-13,即实数m的取值范围是-∞,-13.

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