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2020版高考数学大一轮复习第二章不等式习题(4套浙江专用)

(作者 : 日期:2019-05-13)
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文章来
源 莲山 课件 w w
w.5Y k J.cOM

第1节 不等关系与不等式、一元二次不等式及其解法
要求 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景;2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型;3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系;4.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.
 
知 识 梳 理
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法a-b>0?a>b,a-b=0?a=b,a-b<0?a<b;
(2)作商法ab>1?a>b(a∈R,b>0),ab=1?a=b(a∈R,b≠0),ab<1?a<b(a∈R,b>0).
2.不等式的性质
(1)对称性:a>b?b<a;
(2)传递性:a>b,b>c?a>c;
(3)可加性:a>b?a+c>b+c;a>b,c>d?a+c>b+d;
(4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b>0,c>d>0?ac>bd;
(5)可乘方:a>b>0?an>bn(n∈N,n≥1);
(6)可开方:a>b>0?na>nb(n∈N,n≥2).
3.三个“二次”间的关系
判别式Δ=b2-4ac    Δ>0    Δ=0    Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象              
一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根    有两相异实根x1,x2(x1<x2)    有两相等实根x1=x2=-b2a
没有实数根
ax2+bx+c>0(a>0)的解集    {x|x>x2或x<x1}
x|x≠-b2a
R
ax2+bx+c<0(a>0)的解集    {x|x1<x<x2}    ?    ?
[常用结论与易错提醒]
1.对于不等式ax2+bx+c>0,求解时不要忘记讨论a=0时的情形.
2.当Δ<0时,ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R还是?,要注意区别.
基 础 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)a>b?ac2>bc2.(  )
(2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.(  )
(3)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.(  )
(4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0.(  )
解析 (1)由不等式的性质,ac2>bc2?a>b;反之,c=0时,a>b ac2>bc2.
(3)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实根.则不等式ax2+bx+c>0的解集为?.
(4)当a=b=0,c≤0时,不等式ax2+bx+c≤0也在R上恒成立.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.若a>b>0,c<d<0,则一定有(  )
A.ad>bc     B.ad<bc
C.ac>bd     D.ac<bd
解析 因为c<d<0,所以0>1c>1d,两边同乘-1,得-1d>-1c>0,又a>b>0,故由不等式的性质可知-ad>-bc>0.两边同乘-1,得ad<bc.故选B.
答案 B
3.当x>0时,若不等式x2+ax+1≥0恒成立,则a的最小值为(  )
A.-2     B.-3
C.-1     D.-32
解析 当Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2时,不等式x2+ax+1≥0对任意x>0恒成立,当Δ=a2-4>0,则需a2-4>0,-a2<0,解得a>2,所以使不等式x2+ax+1≥0对任意x>0恒成立的实数a的最小值是-2.
答案 A
4.(2017?上海卷)不等式x-1x>1的解集为________.
解析 1-1x>1?1x<0?x<0,解集为(-∞,0).
答案 (-∞,0)
5.若不等式ax2+bx+2>0的解集为-12,13,则a=________,b=________.
解析 由题意知,方程ax2+bx+2=0的两根为x1=-12,x2=13,则-12+13=-ba,-12×13=2a,
解得a=-12,b=-2.
答案 -12 -2
6.(必修5P80A3改编)若关于x的一元二次方程x2-(m+1)x-m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是________.
解析 由题意知Δ=[-(m+1)]2+4m>0.即m2+6m+1>0,
解得m>-3+22或m<-3-22.
答案 (-∞,-3-22)∪(-3+22,+∞)
 
考点一 比较大小及不等式的性质的应用
【例1】 (1)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是(  )
A.c≥b>a     B.a>c≥b
C.c>b>a     D.a>c>b
(2)(2019?衢州二中二模)已知非负实数a,b,c满足a+b+c=1,则(c-a)(c-b)的取值范围为________.
解析 (1)∵c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0,∴c≥b.
又b+c=6-4a+3a2,∴2b=2+2a2,∴b=a2+1,
∴b-a=a2-a+1=a-122+34>0,
∴b>a,∴c≥b>a.
(2)因为a,b,c为非负实数,且a+b+c=1,则a+b=1-c,0≤c≤1,故|(c-a)(c-b)|=|c-a||c-b|≤c2≤1,即-1≤(c-a)(c-b)≤1;又(c-a)(c-b)=c2-(1-c)c+ab≥2c-142-18≥-18.综上,有-18≤(c-a)(c-b)≤1.
答案 (1)A (2)-18,1
规律方法 (1)比较大小常用的方法:
①作差法;②作商法;③函数的单调性法.
(2)判断多个不等式是否成立,常用方法:一是直接使用不等式性质,逐个验证;二是用特殊法排除.
【训练1】 (1)已知p=a+1a-2,q=12x2-2,其中a>2,x∈R,则p,q的大小关系是(  )
A.p≥q     B.p>q  
C.p<q     D.p≤q
(2)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是(  )
A.a+1b<b2a<log2(a+b)
B.b2a<log2(a+b)<a+1b
C.a+1b<log2(a+b)<b2a
D.log2(a+b)<a+1b<b2a
解析 (1)由于a>2,故p=a+1a-2=(a-2)+1a-2+2≥2+2=4,当且仅当a=3时取等号.因为x2-2≥-2,所以q=12x2-2≤12-2=4,当且仅当x=0时取等号,所以p≥q.
(2)令a=2,b=12,则a+1b=4,b2a=18,log2(a+b)=log252∈(1,2),则b2a<log2(a+b)<a+1b.
答案 (1)A (2)B
考点二 一元二次不等式的解法  多维探究
角度1 不含参的不等式
【例2-1】 求不等式-2x2+x+3<0的解集.
解 化-2x2+x+3<0为2x2-x-3>0,
解方程2x2-x-3=0得x1=-1,x2=32,
∴不等式2x2-x-3>0的解集为(-∞,-1)∪32,+∞,
即原不等式的解集为(-∞,-1)∪32,+∞.
角度2 含参不等式
【例2-2】 解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R).
解 原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0.
①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x≤-1.
②当a>0时,原不等式化为x-2a(x+1)≥0,
解得x≥2a或x≤-1.
③当a<0时,原不等式化为x-2a(x+1)≤0.
当2a>-1,即a<-2时,解得-1≤x≤2a;
当2a=-1,即a=-2时,解得x=-1满足题意;
当2a<-1,即-2<a<0,解得2a≤x≤-1.
综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};
当a>0时,不等式的解集为x|x≥2a,或x≤-1;
当-2<a<0时,不等式的解集为x2a≤x≤-1;
当a=-2时,不等式的解集为{-1};
当a<-2时,不等式的解集为x|-1≤x≤2a.
规律方法 含有参数的不等式的求解,往往需要比较(相应方程)根的大小,对参数进行分类讨论:
(1)若二次项系数为常数,可先考虑分解因式,再对参数进行讨论;若不易分解因式,则可对判别式进行分类讨论;
(2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式;
(3)其次对相应方程的根进行讨论,比较大小,以便正确写出解集.
【训练2】 已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B,不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,则a+b等于(  )
A.-3     B.1
C.-1     D.3
解析 由题意得,A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},所以A∩B={x|-1<x<2},由题意知,-1,2为方程x2+ax+b=0的两根,由根与系数的关系可知,a=-1,b=-2,则a+b=-3.
答案 A
考点三 一元二次不等式的恒成立问题 多维探究
角度1 在R上恒成立
【例3-1】 若一元二次不等式2kx2+kx-38<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为(  )
A.(-3,0]     B.[-3,0)  
C.[-3,0]     D.(-3,0)
解析 2kx2+kx-38<0对一切实数x都成立,
则必有2k<0,Δ=k2-4×2k×-38<0,
解之得-3<k<0.
答案 D
角度2 在给定区间上恒成立
【例3-2】 (一题多解)设函数f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,则m的取值范围是________.
解析 要使f(x)<-m+5在[1,3]上恒成立,
则mx2-mx+m-6<0,
即mx-122+34m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.
有以下两种方法:
法一 令g(x)=mx-122+34m-6,x∈[1,3].
当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数,
所以g(x)max=g(3)=7m-6<0.
所以m<67,则0<m<67.
当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数,
所以g(x)max=g(1)=m-6<0.
所以m<6,所以m<0.
综上所述,m的取值范围是m0<m<67或m<0.
法二 因为x2-x+1=x-122+34>0,
又因为m(x2-x+1)-6<0,所以m<6x2-x+1.
因为函数y=6x2-x+1=6x-122+34在[1,3]上的最小值为67,所以只需m<67即可.
因为m≠0,所以m的取值范围是
m|0<m<67或m<0.
答案 m|0<m<67或m<0
角度3 给定参数范围的恒成立问题
【例3-3】 已知a∈[-1,1]时不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则x的取值范围为(  )
A.(-∞,2)∪(3,+∞)     B.(-∞,1)∪(2,+∞)
C.(-∞,1)∪(3,+∞)     D.(1,3)
解析 把不等式的左端看成关于a的一次函数,记f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,
则由f(a)>0对于任意的a∈[-1,1]恒成立,
所以f(-1)=x2-5x+6>0,
且f(1)=x2-3x+2>0即可,解不等式组
x2-5x+6>0,x2-3x+2>0,得x<1或x>3.
答案 C
规律方法 恒成立问题求解思路
(1)一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时,结合一元二次方程,利用判别式来求解.
(2)一元二次不等式在x∈[a,b]上恒成立确定参数范围时,要根据函数的单调性,求其最小值,让最小值大于等于0,从而求参数的范围.
(3)一元二次不等式对于参数m∈[a,b]恒成立确定x的范围,要注意变换主元,一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.
【训练3】 (1)若不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是(  )
A.[-1,4]     B.(-∞,-2]∪[5,+∞)
C.(-∞,-1]∪[4,+∞)     D.[-2,5]
(2)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是______.
解析 (1)由于x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4,所以x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,只需a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.
(2)二次函数f(x)对于任意x∈[m,m+1],
都有f(x)<0成立,
则f(m)=m2+m2-1<0,f(m+1)=(m+1)2+m(m+1)-1<0,
解得-22<m<0.
答案 (1)A (2)-22,0
 
基础巩固题组
一、
1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x),g(x)的大小关系是(  )
A.f(x)=g(x)     B.f(x)>g(x)
C.f(x)<g(x)     D.随x的值变化而变化
解析 f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0?f(x)>g(x).
答案 B
2.已知下列四个条件:①b>0>a,②0>a>b,③a>0>b,④a>b>0,能推出1a<1b成立的有(  )
A.1个     B.2个
C.3个     D.4个
解析 运用倒数性质,由a>b,ab>0可得1a<1b,②、④正确.又正数大于负数,①正确,③错误,故选C.
答案 C
3.若集合A={x|3+2x-x2>0},集合B={x|2x<2},则A∩B等于(  )
A.(1,3)     B.(-∞,-1)
C.(-1,1)     D.(-3,1)
解析 依题意,可求得A=(-1,3),B=(-∞,1),∴A∩B=(-1,1).
答案 C
4.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数a的取值范围是(  )
A.{a|0<a<4}     B.{a|0≤a<4}
C.{a|0<a≤4}     D.{a|0≤a≤4}
解析 由题意知a=0时,满足条件.
a≠0时,由a>0,Δ=a2-4a≤0,得0<a≤4,所以0≤a≤4.
答案 D
5.已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,若当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是(  )
A.(-1,0)     B.(2,+∞)
C.(-∞,-1)∪(2,+∞)     D.不能确定
解析 由f(1-x)=f(1+x)知f(x)的图象关于直线x=1对称,即a2=1,解得a=2.
又因为f(x)开口向下,
所以当x∈[-1,1]时,f(x)为增函数,
所以f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2,
f(x)>0恒成立,即b2-b-2>0恒成立,
解得b<-1或b>2.
答案 C
6.若实数a,b,c满足对任意实数x,y有3x+4y-5≤ax+by+c≤3x+4y+5,则(  )
A.a+b-c的最小值为2
B.a-b+c的最小值为-4
C.a+b-c的最大值为4
D.a-b+c的最大值为6
解析 由题意可得-5≤(a-3)x+(b-4)y+c≤5恒成立,所以a=3,b=4,
-5≤c≤5,则2≤a+b-c≤12,即a+b-c的最小值是2,最大值是12,A正确,C错误;-6≤a-b+c≤4,则a-b+c的最小值是-6,最大值是4,B错误,D错误,故选A.
答案 A
二、
7.已知函数f(x)=x2+2x,x≥0,-x2+2x,x<0,则不等式f(x)>3的解集为________.
解析 由题意知x≥0,x2+2x>3或x<0,-x2+2x>3,解得x>1.故原不等式的解集为{x|x>1}.
答案 {x|x>1}
8.若关于x的不等式ax>b的解集为-∞,15,则关于x的不等式ax2+bx-45a>0的解集为________.
解析 由已知ax>b的解集为-∞,15,可知a<0,且ba=15,将不等式ax2+bx-45a>0两边同除以a,得x2+bax-45<0,即x2+15x-45<0,解得-1<x<45,故不等式ax2+bx-45a>0的解集为-1,45.
答案 -1,45
9.不等式a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,则实数λ的取值范围为________.
解析 因为a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,所以a2+8b2-λb(a+b)≥0对于任意的a,b∈R恒成立,即a2-λba+(8-λ)b2≥0恒成立,
由二次不等式的性质可得,
Δ=λ2b2+4(λ-8)b2=b2(λ2+4λ-32)≤0,
所以(λ+8)(λ-4)≤0,
解得-8≤λ≤4.
答案 [-8,4]
10.(2019?杭州高级中学测试)若关于x的不等式(x2-a)?(2x+b)≥0在(a,b)上恒成立,则2a+b的最小值为________.
解析 要使2a+b取得最小值,尽量考虑a,b取负值的情况.因此当a<b≤0时,不等式(x2-a)(2x+b)≥0等价于2x+b≥0,即b≥-2x在(a,b)上恒成立,则b≥-2a>0,与b≤0矛盾;当a<0<b时,不等式(x2-a)(2x+b)≥0等价于2x+b≥0,即b≥-2x在(a,b)上恒成立,则b≥-2a,即2a+b≥0,此时2a+b的最小值为0;当0≤a<b时,显然2a+b>0.综上可知2a+b的最小值为0.
答案 0
三、解答题
11.已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6.
(1)解关于a的不等式f(1)>0;
(2)若不等式f(x)>b的解集为(-1,3),求实数a,b的值.
解 (1)由题意知f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3>0,即a2-6a-3<0,解得3-23<a<3+23.
所以不等式的解集为{a|3-23<a<3+23}.
(2)∵f(x)>b的解集为(-1,3),
∴方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3,
∴(-1)+3=a(6-a)3,(-1)×3=-6-b3,解得a=3±3,b=-3.
即a的值为3±3,b的值为-3.
12.已知-1<x+y<4且2<x-y<3,求z=2x-3y的取值范围.
解 设z=2x-3y=m(x+y)+n(x-y),
即2x-3y=(m+n)x+(m-n)y,
所以m+n=2,m-n=-3,所以m=-12,n=52,
由-1<x+y<4知-2<-12(x+y)<12,①
由2<x-y<3知5<52(x-y)<152,②
①+②得3<-12(x+y)+52(x-y)<8,即3<z<8.
能力提升题组
13.下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是(  )
A.a>b+1     B.a>b-1
C.a2>b2     D.a3>b3
解析 A项:若a>b+1,则必有a>b,反之,当a=2,b=1时,满足a>b,但不能推出a>b+1,故a>b+1是a>b成立的充分而不必要条件;B项:当a=b=1时,满足a>b-1,反之,由a>b-1不能推出a>b;C项:当a=-2,b=1时,满足a2>b2,但a>b不成立;D项:a>b是a3>b3的充要条件,综上所述答案选A.
答案 A
14.(一题多解)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若不等式f(x)<0的解集为x|x<12或x>3,则f(ex)>0(e是自然对数的底数)的解集是(  )
A.{x|x<-ln 2或x>ln 3}
B.{x|ln 2<x<ln 3}
C.{x|x<ln 3}
D.{x|-ln 2<x<ln 3}
解析 法一 依题意可得f(x)=ax-12(x-3)(a<0),则f(ex)=aex-12(ex-3)(a<0),由f(ex)=aex-12(ex-3)>0,可得12<ex<3,解得-ln 2<x<ln 3,故选D.
法二 由题知,f(x)>0的解集为x|12<x<3,令12<ex<3,得-ln 2<x<ln 3,故选D.
答案 D
15.若不等式x2+ax-2>0在R上有解,则实数a的取值范围是________;若在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围是________.
解析 设f(x)=x2+ax-2,∵f(x)的图象开口向上,
∴对任意a∈R,f(x)>0在R上有解;由于Δ=a2+8>0恒成立,
所以方程x2+ax-2=0恒有一正一负两根,
于是不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0,即a∈-235,+∞.
答案 R -235,+∞
16.若关于x的不等式a≤34x2-3x+4≤b的解集恰好是[a,b],则a=________,b=________.
解析 令f(x)=34x2-3x+4=34(x-2)2+1,其图象对称轴为x=2.若a≥2,则a,b是方程f(x)=x的两个实根,解得a=43,b=4,矛盾;
若b≤2,则f(a)=b,f(b)=a,两式相减得a+b=83,代入可得a=b=43,矛盾;
若a<2<b,则f(x)min=1,所以a≤1(否则在顶点处不满足a≤f(x)),所以此时a≤f(x)的解集是R,所以f(x)≤b的解集是[a,b],所以f(a)=f(b)=b.由f(b)=b,b>2
解得b=4,由f(a)=4,a<2解得a=0.
答案 0 4
17.解关于x的不等式ax2-(2a+1)x+2<0(a∈R).
解 原不等式可化为(ax-1)(x-2)<0.
(1)当a>0时,原不等式可以化为a(x-2)x-1a<0,根据不等式的性质,这个不等式等价于(x-2)?x-1a<0.因为方程(x-2)x-1a=0的两个根分别是2,1a,所以当0<a<12时,2<1a,则原不等式的解集是x|2<x<1a;当a=12时,原不等式的解集是?;
当a>12时,1a<2,则原不等式的解集是x1a<x<2.
(2)当a=0时,原不等式为-(x-2)<0,解得x>2,
即原不等式的解集是{x|x>2}.
(3)当a<0时,原不等式可以化为a(x-2)x-1a<0,
根据不等式的性质,这个不等式等价于(x-2)?x-1a>0,
由于1a<2,故原不等式的解集是xx<1a或x>2.
综上所述,当a<0时,不等式的解集为xx<1a或x>2;
当a=0时,不等式的解集为{x|x>2};当0<a<12时,不等式的解集为x2<x<1a;当a=12时,不等式的解集为?;当a>12时,不等式的解集为x1a<x<2.
18.已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3).
(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式;
(2)若f(x)的最大值为正数,求实数a的取值范围.
解 (1)∵f(x)+2x>0的解集为(1,3),
f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a<0,
因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.①
由方程f(x)+6a=0,
得ax2-(2+4a)x+9a=0.②
因为方程②有两个相等的实根,
所以Δ=[-(2+4a)]2-4a?9a=0,
即5a2-4a-1=0,解得a=1或a=-15.
由于a<0,舍去a=1,将a=-15代入①,
得f(x)=-15x2-65x-35.
(2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=ax-1+2aa2-a2+4a+1a及a<0,可得f(x)的最大值为-a2+4a+1a.
由-a2+4a+1a>0,a<0,
解得a<-2-3或-2+3<a<0.
故当f(x)的最大值为正数时,实数a的取值范围是
(-∞,-2-3)∪(-2+3,0).

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