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高中数学第一章计数原理练习(11套北师大版选修2-3)

(作者 : 日期:2019-05-13)
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文 章来源 莲
山 课 件 w w w.
5Y k J. c oM

第一章 计数原理测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.某铁路所有车站共发行132种普通客票,则这段铁路共有车站数是(  )
A.8    B.12    C.16    D.24
解析:∵ =n(n-1)=132.∴n=12.故选B.
答案:B
2.若 =6 ,则m等于(  )
A.9    B.8    C.7    D.6
解析:由m(m-1)(m-2)=6? ,解得m=7.
答案:C
3.(1+2x)5的展开式中,x2的系数等于(  )
A.80    B.40    C.20    D.10
解析:(1+2x)5的展开式的通项为Tr+1= (2x)r=2r xr,令r=2,则22 =4×10=40.
答案:B
4.一次中,要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题,要求至少包含前5个题目中的3个,则考生答题的不同选法的种数是(  )
A.40    B.74    
C.84    D.200
解析:分三类:
第一类,前5个题目的3个,后4个题目的3个,
第二类,前5个题目的4个,后4个题目的2个,
第三类,前5个题目的5个,后4个题目的1个,
由分类加法计数原理得 =74.
答案:B
5.有1,2,3,4共四个数字,排成2行2列,要求每行数字之和不能为5,则排法的种数为(  )
A.8    B.10    C.12    D.16
答案:D
6.某校园有一椭圆形花坛,分成如图四块种花,现有4种不同颜色的花可供选择,要求每块地只能种一种颜色,且有公共边界的两块不能种同一种颜色,则不同的种植方法共有(  )
 
A.48种    B.36种    C.30种    D.24种
解析:由于相邻两块不能种同一种颜色,故至少应当用三种颜色,故分两类.第一类,用4色有 种,第二类,用3色有4 种,故共有 +4 =48种.
答案:A
7.(2016?浙江宁波效实中学第一学期期末)在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一步或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,则在该实验中程序顺序的编排方法共有(  )
A.144种    B.96种    
C.48种    D.34种
解析:首先将B,C捆绑在一起作为整体,共有 两种,又A只能出现在第一步或者最后一步,故总的编排方法为 ×2=96种,故选B.
答案:B
8.现有三种类型的卡片各10张,这些卡片除类型不同外其他全部相同,现把这三种类型的卡片分给5个人,每人一张,要求三种类型的卡片都要用上,则分法的种数为(  )
A.30    B.75    C.150    D.300
解析:分为两类:第一类,5人中有3人卡片类型相同,则分法有 =60种;第二类,5人中各有2人卡片类型相同,则分法有 =90种.所以由分类加法计数原理得,分法的种数为60+90=150.
答案:C
9.(2016?湖北孝感高中高二上学期期中)已知(1+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a10(1-x)10,则a8=(  )
A.-180    B.45    C.-45    D.180
解析:由于(1+x)10=[2-(1-x)]10,因此其展开式的通项为Tk+1=(-1)k210-k? (1-x)k,令k=8,得a8=4 =180,故答案:为D.
答案:D
10.(2016?山东莱芜一中高三1月自主)在(ax+1)7的展开式中,x3项的系数是x2项系数和x5项系数的等比中项,则实数a的值为(  )
A.     B.     C.     D.
解析:展开式的通项为Tr+1= (ax)7-r,
∴x3项的系数是 a3,x2项的系数是 a2,x5项的系数是 a5,
∵x3项的系数是x2的系数与x5项系数的等比中项,
∴( a3)2= a2× a5,∴a= .故选A.
答案:A
11.有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”“握力”“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复.若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其余项目上、下午都各测试一人,则不同的安排方式有(  )
A.264种    B.240种    
C.200种    D.120种
解析:由条件上午不测“握力”,则4名同学测四个项目,有 ;下午不测“台阶”但不能与上午所测项目重复,如
    甲    乙    丙    丁
上午    台阶    身高与体重    立定跳远    肺活量
下午                

下午甲测“握力”,乙、丙、丁所测不与上午重复有2种,甲测“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”中一种有3×3=9(种),故 (2+9)=264种.
答案:A
12.有两条平行直线a和b,在直线a上取4个点,直线b上取5个点,以这些点为顶点作三角形,这样的三角形共有(  )
A.70个    B.80个    
C.82个    D.84个
解析:分两类,第一类:从直线a上任取一个点,从直线b上任取两个点,共有 种方法;第二类:从直线a上任取两个点,从直线b上任取一个点,共有 种方法.
所以满足条件的三角形共有 =70个.故选A.
答案:A
二、(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2016?湖北孝感高中高二上学期期中)回文数是指从左到右读与从右到左都是一样的正整数.如121,94 249是回文数,则4位回文数有   个.
解析:4位回文数的特点为中间两位数相同,千位和个位数字相同但不能为零,第一步,选千位和个位数字,共有9种选法;第二步,选中间两位数字,共有10种选法.故4位回文数有9×10=90(个).
答案:90
14.某公园现有甲、乙、丙三只小船,甲船可乘3人,乙船可乘2人,丙船可乘1人,今有三个成人和2个分乘这些船只(每船必须坐人),为起见,必须由成人陪同方可乘船,则分乘这些船只的方法有     种.
解析:分两类:第一类,两个同坐甲船,则三个成人应分别坐到三个船上,有 种坐法;第二类,两个分别坐甲船和乙船,有 种坐法,三个成人应分别坐到三个船上,有 种坐法,共有 =12种坐法,所以由分类加法计数原理得,分乘这些船只的方法共有6+12=18种.
答案:18
15.(2016?辽宁沈阳高中高二上学期期中)设a,b是两个整数,若存在整数d,使得b=ad,称“a整除b”,记作a|b.给出命题:①2|(n2+n+1);②100|(9910-1);③5|(24n-1)(n∈N+).其中正确命题的序号是    .
解析:对于①,∵n2+n=n(n+1)必为偶数,
∴n2+n+1为奇数,即2|(n2+n+1)不正确.
对于②,9910-1=(100-1)10-1= ?10010- ?1009+…- ?100,∴②正确.
对于③,24n-1=(15+1)n-1= ?15n+ ?15n-1+…+ ?15,∴③正确.
答案:②③
16.在( )100的展开式中,无理项的个数是     .
解析:Tr+1= )100-r?( )r= .若第r+1项为有理项,则50- 均为整数,故r为6的倍数时,第r+1项为有理项,又0≤r≤100,∴r=0,6,12,…,96,∴有理项共有17个,从而无理项共有101-17=84(个).
答案:84
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)(2016?山东青岛高二联考)从-1,0,1,2,3这5个数中选3个不同的数组成二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数.
(1)开口向上的抛物线有多少条?
(2)开口向上且不过原点的抛物线有多少条?
解(1)要使抛物线的开口向上,必须a>0,
∴ =36(条).
(2)开口向上且不过原点的抛物线,必须a>0,c≠0,
∴ =27(条).
18.(本小题满分12分)设有编号为1,2,3,4,5的五个小球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子,现将这五个小球放入5个盒子中.
(1)若没有一个盒子空着,但球的编号与盒子编号不全相同,有多少种投放方法?
(2)每个盒子内投放一球,并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的,有多少种投放方法?
解(1)间接法: -1=119种.
(2)分为三类:
第一类,五个球的编号与盒子的编号完全相同的投放方法有1种;
第二类,三个球的编号与盒子的编号相同,球的编号与盒子的编号相同的投放方法有 种,球的编号与盒子的编号不同的投放方法有1种,所以投放方法有 ×1=10种;
第三类,两个球的编号与盒子的编号相同,球的编号与盒子的编号相同的投放方法有 种,球的编号与盒子的编号不同的投放方法有2种,所以投放方法有 ×2=20种.根据分类加法计数原理得,所有的投放方法有1+10+20=31种.
19.(本小题满分12分)已知 ,i是虚数单位,x>0,n∈N+.
(1)如果展开式中的倒数第3项的系数是-180,求n的值;
(2)对(1)中的n,求展开式中系数为正实数的项.
解(1)由已知,得 (2i)2=-180,即4 =180,所以n2-n-90=0,又n∈N+,解得n=10.
(2) 展开式的通项为Tk+1= ?(2 i)10-kx-2k= (2i)10-k .
因为系数为正实数,且k∈{0,1,2,…,10},
所以k=2,6,10.
所以所求的项为T3=11 520,T7=3 360x-10,T11=x-20.
20.导学号43944023(本小题满分12分)(2016?浙江宁波效实中学第一学期)设n≥2,n∈N, =a0+a1x+a2x2+…+anxn.
(1)求a0+a1+a2+…+an.
(2)记|ak|(0≤k≤n)的最小值为Tn.
①求T8;②若n为奇数,求Tn.
解(1)令x=1,
即可得a0+a1+a2+…+an= ;
(2)①由题意得|ak|= |22k-8-32k-8|,
∴当k=4时,T8=|a4|=0;
②由①可知|ak|= |22k-n-32k-n|,
∴当k< 时,|ak|= (22k-n-32k-n),
记bk=22k-n-32k-n,
则bk≥bk-1?22k-n-32k-n≥22k-n-2-32k-n-2?k≤ -1,
∴当k< 时bk递增,而 也递增,
因此最小值为|a0|= ,
当k> 时,|ak|= (32k-n-22k-n)≥ >|a0|,
综上Tn= .
21.导学号43944024(本小题满分12分)在(x-y)11的展开式中,求:
(1)通项Tr+1;
(2)二项式系数最大的项;
(3)项的系数绝对值最大的项;
(4)项的系数最大的项;
(5)项的系数最小的项;
(6)二项式系数的和.
解(1)Tr+1=(-1)r x11-ryr.
(2)二项式系数最大的项为中间两项:T6=- x6y5,T7= x5y6.
(3)项的系数绝对值最大的项也是中间两项:
T6=- x6y5,T7= x5y6.
(4)因为中间两项系数的绝对值相等,一正一负,第7项为正,故项的系数最大的项为T7= x5y6.
(5)项的系数最小的项为T6=- x6y5.
(6)二项式系数的和为 +…+ =211.
22.导学号43944025(本小题满分12分)已知(x2+1)n展开式中的各项系数之和等于 的展开式的常数项,若(x2+1)n的展开式中系数最大的项等于54,求x的值.
解 的展开式的通项为
Tr+1= .
令 =0,得r=4,
∴展开式的常数项为T5= =16.
∵(x2+1)n展开式中的各项系数之和等于2n,
∴2n=16,∴n=4.
又(x2+1)n展开式中系数最大的项是中间项,即第3项,
∴ x4=54,∴x=± .

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