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高中数学第二章空间向量与立体几何练习(12套北师大版选修2-1)

(作者 : 日期:2019-05-13)
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文章来源
莲山 课件 w ww.5 Y
K J.CO
M

第二章 空间向量与立体几何测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在以下命题中,不正确的有(  )
①|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;
②若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb;
③若向量a,b,c构成空间的一个基底,则a+b,b+c,c+a构成空间的另一个基底;
④|(a?b)c|=|a||b||c|.
A.1个    B.2个    C.3个    D.4个
解析:只有③正确,故选C.
答案:C
2.
 
如图,已知四面体ABCD,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AC的中点,则 )=(  )
A.     B.
C.     D.
解析:∵ )= )= ,
又∵ ,∴ )= .
答案:C
3.已知A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),D(0,0,0),令a= ,b= ,则a+b=(  )
A.(5,-9,2)    B.(-5,9,-2)
C.(5,9,-2)    D.(5,-9,-2)
解析:∵A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),D(0,0,0),
∴a= =(-1,0,-2),b= =(-4,9,0),
∴a+b=(-5,9,-2).
答案:B
4.已知O-ABC是四面体,G1是△ABC的重心,G是OG1上一点,且OG=3GG1,若 =x +y +z ,则(x,y,z)为(  )
A.     B.
C.     D.
解析:如图,
 
连接AG1并延长交BC于点E,则E为BC的中点,
∴ )= -2 ), -2 ).
∵ =3 =3( ),∴ )= ,故选A.
答案:A
5.设x>y>0>z,空间向量m= ,n= ,且x2+9z2=4y(x-y),则m?n的最小值是(  )
A.2    B.4    C.2     D.5
解析:∵空间向量m= ,n= ,
∴m?n=x2+ +9z2
=4y(x-y)+
≥2 =4.
当且仅当4y(x-y)= 时取等号.
则m?n的最小值是4.
答案:B
6.
 
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E= A1D,AF= AC,则    (  )
A.EF至多与A1D,AC之一垂直
B.EF与A1D,AC都垂直
C.EF与BD1相交
D.EF与BD1异面
解析:以D为坐标原点,分别以 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为3,则A(3,0,0),C(0,3,0),D(0,0,0),A1(3,0,3),E(1,0,1),F(2,1,0),B(3,3,0),D1(0,0,3),∴ =(-3,0,-3), =(-3,3,0), =(1,1,-1),∴ =0, =0,∴ ,∴A1D⊥EF,AC⊥EF.又 =(-3,-3,3),
∴ =-3 ,即BD1与EF平行.故选B.
答案:B
7.已知空间三点O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),在直线OA上有一点H满足BH⊥OA,则点H的坐标为    (  )
A.(-2,2,0)    B.(2,-2,0)
C.     D.
解析:由 =(-1,1,0),且点H在直线OA上,可设H(-λ,λ,0),则 =(-λ,λ-1,-1).又BH⊥OA,
∴ =0,即(-λ,λ-1,-1)?(-1,1,0)=0,即λ+λ-1=0,解得λ= ,∴H ,故选C.
答案:C
8.
 
如图,正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面内的投影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC的夹角是(  )
A.30°    
B.45°
C.60°    
D.90°
解析:
 
 如图,以O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P ,则 =(2a,0,0), =(a,a,0),设平面PAC的一个法向量为n,可取n=(0,1,1),则cos< ,n>= ,所以< ,n>=60°,所以直线BC与平面PAC的夹角为90°-60°=30°.
答案:A
9.
 
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E是A1B1的中点,则点E到平面ABC1D1的距离是(  )
A.     B.
C.     D.
解析: 建立如图所示的坐标系,
 
∵正方体的棱长为1,
∴A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),C1(0,1,1),D1(0,0,1),E .
设平面ABC1D1的法向量为n=(x,y,z).
∴n? =0,且n? =0,即(x,y,z)?(0,1,0)=0,且(x,y,z)?(-1,0,1)=0.
∴y=0,且-x+z=0,令x=1,则z=1,∴n=(1,0,1).
∴n0= .又 ,
∴点E到平面ABC1D1的距离为| ?n0|= .
答案:B
10.
 
如图,在四面体P-ABC中,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,则平面ABP与平面APC的夹角的余弦值为(  )
A.     B.
C.     D.
解析:
 
 取AC的中点D,连接BD,过D作DE∥PC,以DB,DC,DE所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由图知平面APC的法向量为 .
设AB=1,
则D(0,0,0),B ,A ,C ,P ,
∴ =(0,-1,-1), .
设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),

令y=3,∴n=(- ,3,-3).
∴cos< ,n>= =- ,
即平面ABP与平面APC的夹角的余弦值为 .
答案:C
11.设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成,若x1?y1+x2?y2+x3?y3+x4?y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为(  )
A.     B.     C.     D.0
解析:设a与b的夹角为θ.x1?y1+x2?y2+x3?y3+x4?y4有以下三种可能:
①2a?a+2b?b=2|a|2+2|b|2=10|a|2;
②4a?b=4|a|?2|a|cos θ=8|a|2cos θ;
③a?a+2a?b+b?b=|a|2+2|a||b|cos θ+|b|2=5|a|2+4|a|2cos θ.
由此易知②最小,则8|a|2cos θ=4|a|2,
解得cos θ= ,∴θ= .
答案:B
12. 导学号90074051已知平面α与平面β的夹角为60°,AB?α,AB⊥l,A为垂足,CD?β,C∈l,∠ACD=135°,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(  )
A.     B.     C.     D.
解析:如图,
 
在平面α内过C作CE∥AB,
则∠ECD为异面直线AB与CD所成的角或其补角,不妨取CE=1,过E作EO⊥β于O.
在平面β内过O作OH⊥CD于H,
连EH,则EH⊥CD.
因为AB∥CE,AB⊥l,所以CE⊥l.
又因为EO⊥平面β,所以CO⊥l,所以∠ECO=60°.
而∠ACD=135°,CO⊥l,所以∠OCH=45°.
在Rt△ECO中,CO=CE?cos∠ECO=1?cos 60°= .在Rt△COH中,CH=CO?cos∠OCH= ?sin 45°= .在Rt△ECH中,cos∠ECH= .所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为 .故选B.
答案:B
二、(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.已知l∥α,且l的方向向量为(2,m,1),平面α的法向量为 ,则m=     .
解析:∵l∥α,∴l的方向向量与平面α的法向量垂直,即(2,m,1)? =0,∴2+ m+2=0,∴m=-8.
答案:-8
14.已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,设 =a, =b, =c,则 =     .
解析:
 
 如图,取CC'中点E,连接AC,AE.
∵正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,
 =a, =b, =c,
∴a+b+ c= .
∴ =| |= .
答案:
15.
 
如图,PD垂直于正方形ABCD所在的平面,AB=2,E为PB的中点,cos???? ????= .以D为原点,分别以DA,DC,DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系,则点E的坐标为    .
解析:设DP=2a,则P(0,0,2a),B(2,2,0),E(1,1,a),A(2,0,0).∵ =(0,0,2a), =(-1,1,a),
∴cos???? ????= ,解得a=1.∴E(1,1,1).
答案:(1,1,1)
16.
 
如图,等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,平面ABC与平面ABDE的夹角的余弦值为 ,M,N分别是AC,BC的中点,则EM,AN所成角的余弦值为     .
解析:如图所示,过点C作CO⊥平面ABDE,垂足为O,取AB的中点F,
 
连接CF,OF,OA,OB,则∠CFO为二面角C-AB-D的平面角,∴cos∠CFO= .
设AB=1,则CF= ,OF= ,OC= ,∴O为正方形ABDE的中心.如图建立空间直角坐标系,则E ,A ,M ,N ,∴ ,
∴cos< >= .
答案:
三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(满分10分)已知空间三点A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5).
(1)求△ABC的面积;
(2)求△ABC中AB边上的高.
解(1)由已知,得 =(1,-3,2), =(2,0,-8),
∴| |= ,| |= =2 ,
 =1×2+(-3)×0+2×(-8)=-14,
∴cos< >= ,
∴sin< >= .
∴S△ABC= |?| |?sin< >= ×2 =3 .
(2)设AB边上的高为CD,则| |= =3 ,即△ABC中AB边上的高为3 .
18.
 
(满分12分)如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=2,AD=1,AA'=1.证明直线BC'平行于平面D'AC,并求直线BC'到平面D'AC的距离.

解如图,
 
建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为A(1,0,1),B(1,2,1),C(0,2,1),C'(0,2,0),D'(0,0,0).
设平面D'AC的法向量n=(u,v,w),
则n⊥ ,n⊥ .
因为 =(1,0,1), =(0,2,1),n? =0,n? =0,
所以
解得u=2v,w=-2v.取v=1,得平面D'AC的一个法向量n=(2,1,-2).因为 =(-1,0,-1),
所以n? =0,所以n⊥ .
又BC'不在平面D'AC内,
所以直线BC'与平面D'AC平行.
由 =(1,0,0),得点B到平面D'AC的距离d= ,
所以直线BC'到平面D'AC的距离为 .
19.(满分12分)
 
如图,在三棱锥P-ABC中,PB⊥底面ABC,∠BCA=90°,PB=BC=CA=2,E为PC的中点,点F在PA上,且2PF=FA.
(1)求证:BE⊥平面PAC;
(2)求直线AB与平面BEF所成角的正弦值.
解(1)∵PB⊥底面ABC,且AC?底面ABC,
∴AC⊥PB.
由∠BCA=90°,可得AC⊥CB.
又PB∩CB=B,∴AC⊥平面PBC.
∵BE?平面PBC,∴AC⊥BE.
∵PB=BC,E为PC的中点,∴BE⊥PC.
∵PC∩AC=C,∴BE⊥平面PAC.
(2)
 
以点B为坐标原点,BC所在直线为x轴,BP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则B(0,0,0),C(2,0,0),A(2,2,0),P(0,0,2),E(1,0,1), .
设平面BEF的法向量为m=(x,y,z),
由m? =0,m? =0,得 x+ y+ z=0,x+z=0.
取x=1,则y=1,z=-1,m=(1,1,-1)为平面BEF的一个法向量.
又 =(-2,-2,0),
∴cos< ,m>= =- ,
∴直线AB与平面BEF所成角的正弦值为 .
20.(满分12分)
 
如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC= ,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点,N为BC的中点.
(1)求证:直线MN∥平面OCD;
(2)求异面直线AB与MD夹角的大小;
(3)求点B到平面OCD的距离.

 
 作AP⊥CD于点P.如图,分别以AB,AP,AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
A(0,0,0),B(1,0,0),P ,D ,O(0,0,2),M(0,0,1),N .
(1)证明: .
设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),
则n? =0,n? =0,即
取z= ,解得n=(0,4, ).
∵ ?n= ?(0,4, )=0,
又MN?平面OCD,∴MN∥平面OCD.
(2)设AB与MD的夹角为θ,
∵ =(1,0,0), ,
∴cos θ= .∴θ= ,
即AB与MD的夹角的大小为 .
(3)点B到平面OCD的距离为d= ,∴点B到平面OCD的距离为 .
21.(满分12分)
 
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是直角三角形,AB=AC=1,AA1=2,点P是棱BB1上一点,满足 =λ (0≤λ≤1).
(1)若λ= ,求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值;
(2)若平面PA1C与平面A1BC的夹角的正弦值为 ,求λ的值.
解以A为坐标原点,分别以AB,AC,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Axyz.因为AB=AC=1,AA1=2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,2),B1(1,0,2),P(1,0,2λ).
(1)由λ= 得, =(1,0,-2), =(0,1,-2).
设平面A1BC的法向量为n1=(x1,y1,z1),

不妨取z1=1,则x1=y1=2,
从而平面A1BC的一个法向量为n1=(2,2,1).
设直线PC与平面A1BC所成的角为θ,
则sin θ=|cos< ,n1>|= ,
所以直线PC与平面A1BC所成的角的正弦值为 .
(2)设平面PA1C的法向量为n2=(x2,y2,z2), =(1,0,2λ-2),

不妨取z2=1,则x2=2-2λ,y2=2,
所以平面PA1C的法向量为n2=(2-2λ,2,1).
则cos<n1,n2>= .
又因为二面角P-A1C-B的正弦值为 ,所以 ,化简得λ2+8λ-9=0,解得λ=1或λ=-9(舍去),故λ的值为1.
22. 导学号90074052
 
(满分12分)如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.
(1)求证:BD∥平面FGH;
(2)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°,求平面FGH与平面ACFD夹角的大小.
(1)证法一连接DG,
 
CD,设CD∩GF=O,连接OH.
在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DF∥GC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.
则O为CD的中点,
又H为BC的中点,所以OH∥BD,又OH?平面FGH,BD?平面FGH,所以BD∥平面FGH.
证法二在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BH∥EF,BH=EF,
所以四边形BHFE为平行四边形.
可得BE∥HF.
在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,
所以GH∥AB.
又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面ABED.
因为BD?平面ABED,所以BD∥平面FGH.
(2)解法一设AB=2,则CF=1.
在三棱台DEF-ABC中,G为AC的中点,由DF= AC=GC,可得四边形DGCF为平行四边形,因此DG∥FC.
又FC⊥平面ABC,所以DG⊥平面ABC.
 
在△ABC中,由AB⊥BC,∠BAC=45°,G是AC中点,所以AB=BC,GB⊥GC,因此GB,GC,GD两两垂直.
以G为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.
所以G(0,0,0),B( ,0,0),C(0, ,0),D(0,0,1).
可得H ,F(0, ,1),
故 =(0, ,1).
设n=(x,y,z)是平面FGH的一个法向量,
则由 可得
可得平面FGH的一个法向量n=(1,-1, ).
因为 是平面ACFD的一个法向量, =( ,0,0),
所以cos< ,n>= .
所以平面FGH与平面ACFD夹角的大小为60°.
解法二作HM⊥AC于点M,
 
作MN⊥GF于点N,连接NH.
由FC⊥平面ABC,得HM⊥FC,
又FC∩AC=C,所以HM⊥平面ACFD.
因此GF⊥NH,
所以∠MNH即为所求的角.
在△BGC中,MH∥BG,MH= BG= ,
由△GNM∽△GCF,可得 ,从而MN= .由HM⊥平面ACFD,MN?平面ACFD,得HM⊥MN,因此tan∠MNH= ,所以∠MNH=60°.
所以平面FGH与平面ACFD夹角的大小为60°.

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